Задачи по геометрии без чертежей

ЗАДАЧИ

СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ.

1. Расстояние между двумя параллельными прямыми а и с равно 10см, на прямой а взята точка А , а на прямой с - точка С, причем АС = 20см. Найдите угол между прямыми а и АС.

2. Углы АОВ и СОВ - смежные, ОМ и ОТ - их биссектрисы. Найдите угол МОТ.

3. В параллелограмме АВСД  В=140° , АВ - меньшая сторона, АМ-биссектриса угла А. Найдите угол АМС.

4. Параллельные прямые АВ и СД пересекают стороны угла О, равного 34° (точки А и С - на одной стороне угла),  ОСД=118° . Найдите угол АВО.

5. В прямоугольной трапеции с основаниями ВС и АД  Д=36° . Найдите сумму углов при основании ВС.

6. Смежные углы относятся как 2 : 7. Найдите больший угол.

7. Два равных тупых угла имеют общую сторону, а две другие их стороны составляют угол 44° . Чему равен каждый из этих тупых углов?

8. Прямые АВ и СД пересекаются в точке О. Эти прямые пересекают параллельные прямые т и п (точки А и С - на прямой т, В и Д - на прямой п), САВ=64° ,  СДВ=58° . Найдите угол АОД.

ТРЕУГОЛЬНИКИ

1. В треугольнике АВС АВ=13см, ВС=13см, медиана ВН равна 12см. Найдите сторону АС.

2. СТО=ДВА;  С = 114° , ВД=АД. Найдите угол В.

3. Два внешних угла треугольника равны 122° и 134° . Найдите больший угол этого треугольника.

4. В прямоугольном треугольнике две большие стороны равны 60см и 61см. Найдите третью сторону этого треугольника.

5. В треугольнике два угла равны, две стороны равны 3см и 6см. Чему равен периметр этого треугольника?

6. В треугольнике АВС углы А и С равны, АС=16см, биссектриса угла В равна 15см. Найдите ВС.

7. Углы треугольника относятся как 7 : 5 : 6. Найдите меньший угол этого треугольника.

8. Периметр треугольника равен 42см, а его стороны относятся как 3 : 5 : 6.Найдите большую сторону этого треугольника.

9. В треугольнике АВС биссектриса угла В является высотой и равна половине стороны АС. Найдите угол АВС.

10. Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 3. Найдите меньшую сторону этого треугольника, если большая его сторона равна 10 см.

11. В равнобедренном АВС внешний угол при вершине А равен 32° . Найдите угол В этого треугольника.

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

1. Один из углов параллелограмма в 3 раза меньше другого. Найдите больший угол этого параллелограмма.

2. Диагонали прямоугольника пересекаются по углом 60° и равны 10см. Найдите меньшую сторону этого прямоугольника.

3. Один из углов ромба равен 120° , а его меньшая диагональ равна 2см. Найдите периметр ромба.

4. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне и равно половине большего основания. Найдите больший угол этой трапеции.

5. Периметр прямоугольника равен 40см, одна из его сторон в 1,5 раза больше другой. Найдите большую сторону.

6. Стороны параллелограмма относятся как 2 : 3, а его периметр ра-вен 40см. Найдите меньшую сторону.

7. Два угла равнобедренной трапеции относятся как 4 : 5. Найдите сумму двух меньших углов этой трапеции.

8. Найдите сторону прямоугольника, которая образует с его диагональю угол 60° , если диагональ равна 14см.

9. (2б) В равнобедренном треугольнике угол, противолежащий основанию, равен 54° . Из трех таких треугольников составлена трапеция. Какой наибольший угол может получиться в этой трапеции?

10. Найдите большую диагональ ромба, если его сторона и меньшая диагональ равны по 6см.

ПЛОЩАДЬ

1. Отношение сторон прямоугольника равно 1 : 4 а его периметр равен 60см. Найдите периметр равновеликого квадрата.

2. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна 10см.

3. Найдите площадь трапеции со сторонами 5см, 5см, 5см и 11см.

4. Чему равна высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, если его катеты равны 12см и 16см?

5. Одна из сторон прямоугольника в 2 раза больше другой, а его периметр равен 18см. Найдите диагональ равновеликого квадрата.

6. Стороны прямоугольного треугольника равны 11см, 60см и 61см. Найдите его площадь.

7. Чему равна площадь параллелограмма со сторонами 5см и 8см и одним из углов 60° ?

8.Найдите площадь ромба с периметром 52см и диагональю 10см.

9. Найдите площадь треугольника со сторонами 5см, 5см и 8см.

10. Диагонали ромба равны 12см и 35см. Найдите его площадь.

11. Чему равна площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 17см и одним из катетов 8см?

12. В треугольнике проведены 2 средние линии. Найдите площадь получившегося параллелограмма, если площадь исходного треугольника равна 12см².

ПОДОБИЕ

1. Диагонали трапеции АВСД с основаниями ВС и АД пересекаются в точке М. АМ : СМ = 3 : 2; сумма длин оснований трапеции равна 15см. Найдите ВС.

2. Боковые стороны трапеции АВСД продлены до пересечения в точке К. Расстояние от точки К до вершины А равно 10см, до вершины В - 8см, до вершины Д - 15см. Найдите сторону СД этой трапеции.

3. В треугольнике АВС проведены высоты АМ=8см и СК=12см. Найдите ВМ, если ВК=9см.

4. В прямоугольном треугольнике АВС ( С=90° ) проведена высота СН. Найдите АВ, если СН=4см и ВН=3см.

5. Отрезки АВ и СД пересекаются в точке О. АО=6см, ДО=7см, СО=14см, ВО=12см; расстояние между точками А и Д равно 8см. Найдите расстояние между точками С и В.

6. На стороне ОА угла О отмечена точка А, через которую восставлен перпендикуляр к стороне ОА. Этот перпендикуляр пересекает вторую сторону угла в точке В. Найдите расстояние от точки А до стороны ОВ, если расстояние от точки А до вершины угла равно 15см, а до точки В - 20см.

7. В треугольнике АВС, периметр которого равен 35см, проведены все средние линии; длины средних линий пропорциональны числам 3; 5 и 6. Найдите наибольшую сторону треугольника АВС.

8. На основании КР равнобедренного треугольника МКР взята точка С таким образом, что КС= 2см, СР=8см; а на стороне МР - точка Д, причем СД||МК. Найдите СД, если периметр треугольника МКР равен 40см.

9. В треугольнике АВС  С=90° . На стороне АВ взята точка М таким образом, что АМ=15см, ВМ=10см; расстояние от точки М до стороны ВС равно 8см. Найдите сторону АС.

10. В треугольнике АВС со стороной АВ, равной 10см, проведены высоты АТ и СД. Найдите сторону треугольника ВС, если АТ=8см, СД=12см.

ОКРУЖНОСТЬ. ВПИСАННЫЕ УГЛЫ

1. Две хорды окружности АВ и СД пересекаются в точке К.  АКС=40° , АС=60° . Найдите градусную меру дуги ВД.

2. Из точки А окружности с центром О проведены две равные хорды АВ и АС, которые составили угол, равный 68° . Найдите  АОС.

3.Через точку М некоторой окружности проведены диаметр АМ, секущая ВМ и касательная СМ, причем точки А, В и С расположены на одной прямой. Угол между хордой и диаметром составляет 30° . Найдите расстояние между точками А и С, если радиус окружности равен 5см.

4. Через точку М некоторой окружности проведены касательная МС и хорда МК. Найдите  СМК, если МК=62° .

5.В окружности проведен диаметр АВ, равный 6см. Касательная, параллельная этому диаметру, касается окружности в точке М. Найдите длину отрезка АМ.

6.Диаметр АВ окружности продлен за точку В, хорда СД этой же окружности продлена за точку Д. Полученные лучи пересекаются в точке М? АМС=50° , ВД=30° . Найдите АС.

7. Хорды АВ и СД одной окружности параллельны, АД=100° . Найдите градусную меру дуги ВС.

8. Хорды АВ и СД одной окружности равны, АВ=70° . Найдите  САД.

9.Четырехугольник АВСД вписан в окружность.  ВАД=100° , АВ=110° , СД=120° . Найдите  АВС.

10. В окружность с центром в точке О вписана трапеция АВСД (ВС||АД), ВОС=80° , АОД=160° . Найдите  ВАД.

ВПИСАННАЯ, ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

1. В треугольнике АВС  С =62° , О - центр описанной окружности. Найдите угол АОВ.

2. В трапецию с боковыми сторонами 5см и 6см вписана окружность. Найдите периметр трапеции.

3. В треугольнике АВС центры вписанной и описанной окружности совпадают, его периметр равен 18см, Д - середина стороны ВС. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АДС.

4. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 32° . Найдите угол между медианой и биссектрисой прямого угла этого треугольника.

5. Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол А этого треугольника, если  ВОС =100° .

6. В треугольнике АВС  С =42° , О - центр вписанной окружности. Найдите угол АОВ.

7. В окружность вписан некоторый четырехугольник; известно, что два его угла равны 24° и 126° . Чему равен наибольший угол этого четырехугольника?

8. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольника со сторонами 12см и 35см.

9. Найдите радиус круга, вписанного в ромб с диагоналями 12см и 16см.

10. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, равным 10см, вписана окружность. Найдите периметр треугольника, если расстояние от вершины В до точки касания стороны АВ с окружностью равно 7см.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ. ВЕКТОРЫ

1. Найдите сумму внутренних углов выпуклого 7-угольника.

2. Чему равен каждый из углов правильного 8-угольника?

3. Чему равна площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 6см?

4. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его углов составляет 900°?

5. Найдите периметр правильного многоугольника, если его углы равны по 140° , а стороны - по 4см.

6. Периметр квадрата равен 12 см. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата.

7. Внешний угол правильного многоугольника равен 60° , а его сторона равна 2см. Найдите периметр этого многоугольника.

8. АВСДЕF - правильный шестиугольник. Найдите угол ДАС.

9. Найдите координаты вектора ОМ, если О - середина отрезка АВ и А(2;-5), В(-6; 3), М(1;-4).

10. Найдите координату х точки В(х;1), если векторы СВ и СА перпендикулярны и С(5;1), А(5;-7).

11. Найдите длину отрезка АВ, если АВ (15;8).

12. Найдите координаты вектора с, если с = 2а - b, и а(-1;-3), b(5;-2).

13. Найдите координаты точки М, если Р- середина отрезка МК и Р(3;1), К(-1; 5).

14. Найдите длину отрезка СТ, если С(-5;-1) и Т(4;-13).

15. Точка Е симметрична точке Н(-4;3) относительно начала координат. Найдите длину отрезка ЕН.

16. Угол АОС - прямой, найдите ординату у точки С, если А(1;6), С(3;у), а точка О - начало координат.