Задачи с чертежами

Геометрия

1.

2. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 

, а расстояние от точки А до точки О равно 6.

3. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 

. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.

4. Лестницу длиной 2 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?

5. В параллелограмме 

 точка 

 середина стороны 

. Известно, что 

. Докажите, что данный параллелограмм 

 прямоугольник.

6. Точка О – центр окружности, 

 (см. рисунок). Найдите величину угла 

(в градусах).

7. В параллелограмме 

 точка 

 середина стороны 

. Известно, что 

. Докажите, что данный параллелограмм 

 прямоугольник.

8. Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 

. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 6.

9.

10. Сторона ромба равна 36, а острый угол равен 

. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

11. Сторона ромба равна 30, а острый угол равен 

. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

12. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо 

 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

13. В параллелограмме 

 диагонали 

 и 

 пересекаются в точке 

. Докажите, что площадь параллелограмма 

 в четыре раза больше площади треугольника 

.14. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 

, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

15. От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 15 м. Вычислите длину провода.

16.

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 

, а радиус окружности равен 8.

17. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 8 м. Найдите длину троса.

18. Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 

 и 

 соответственно.

19. Медиана 

 треугольника 

 является диаметром окружности, пересекающей сторону 

 в её середине. Длина стороны 

 равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника 

.20. Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,8 м?

21. В окружности с центром в точке 

 проведены диаметры 

 и 

, угол OAB равен 

. Найдите величину угла 

.

22. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 

. Найдите величину угла 

.

23. От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м.

24. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

25. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 

 и 

. Найдите меньший угол параллелограмма.

26. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

27. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол 

 равен 

. Найдите величину угла 

.

28.

29.

30. В треугольнике ABC угол C прямой, 

, 

. Найдите AB.

31. В треугольнике ABC угол C прямой, 

, 

. Найдите AB.

32. Из вершины прямого угла 

 треугольника 

 проведена высота 

. Радиус окружности, вписанной в треугольник 

, равен 

, тангенс угла 

 равен 

. Найдите радиус вписанной окружности треугольника 

.33. Найдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 

 и 

 соответственно.

34. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

35. Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 17 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 8 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

36. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 4 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 1 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

37.

38. Точка О – центр окружности, 

 (см. рисунок). Найдите величину угла 

(в градусах).

39.

40. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 11 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

41. Боковая сторона трапеции равна 4, а один из прилегающих к ней углов равен 

. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 7.

42.

43. Точка О – центр окружности, 

 (см. рисунок). Найдите величину угла 

(в градусах).

44. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 7, а один из углов между боковой стороной и основанием равен  45

.Найдите площадь трапеции.

45.

Точка О – центр окружности, 

 (см. рисунок). Найдите величину угла 

(в градусах).

46. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов между боковой стороной и основанием равен  45

.Найдите площадь трапеции.

47. Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 

. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.

48. Точка О 

 центр окружности, 

 (см. рисунок). Найдите величину угла 

 (в градусах).