Типовые задания школьного этапа Всероссийской олимпиады

школьников

Пятый класс

5.1. Найдите решение числового ребуса a,bb+b, ab = 10, где а и b   различные цифры.
Ответ. 4,55+5,45=10.

5.2. Составьте из восьми различных ненулевых цифр 4 двузначных числа таких, что
сумма двух из них равна сумме двух других.

Ответ. Например, 91 и 64, 73 и 82

5.3. У Карлсона в шкафу стоят 5 банок малинового, 8 банок земляничного, 10 банок
вишневого и 25 банок клубничного варенья. Может ли Карлсон съесть все варенье, если
каждый день он хочет съедать 2 банки варенья, при этом обязательно из разных ягод?

Ответ. Не может.

Решение. Каждую банку клубничного варенья Карлсон съедает вместе с какой-то из 5 + 8 + 10 = 23 банок другого варенья. Значит, он съест не более 23 банок клубничного варенья и все варенье съесть не сможет.

5.4. Петя сказал, что у него братьев и сестер поровну, а Маша сказала, что у нее братьев
в три раза больше, чем сестер. Сколько детей в семье, если Маша и Петя - брат и сестра?

Ответ. 5 детей - 3 мальчика и 2 девочки.

5.5. В ящике 23 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два
взвешивания отмерить 5 кг гвоздей?

Решение. При первом взвешивании на одну из чашек весов кладем гирю и все гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 12 и 11 кг гвоздей. Кучку с 12 кг откладываем. При втором взвешивании берем 11 кг гвоздей. На одну из чашек

весов  кладем   гирю  и  все  гвозди  раскладываем  по  чашкам  так,  чтобы  установилось равновесие. Получим 6 и 5 кг гвоздей.

Шестой класс

6.1. Расставьте скобки в выражении 7-6-5-4-3-2-1=0 так, чтобы получилось
верное равенство.

Ответ. Например, скобки можно расставить так: (7 - 6) - (5 - 4) - (3 - 2 - 1) = 0.

6.2. Запишите числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 в строку так, чтобы из любых двух соседних чисел
одно делилось бы на другое.

Ответ. Например: 9, 3, 6, 2, 4, 8, 1.

6.3. Даны три сосуда: первый емкостью 3 л, второй - 5 л, третий - 20 л. Первые два
сосуда пустые. Третий заполнен водой. Как с помощью нескольких переливаний налить во
второй сосуд ровно 4 л воды? (При переливаниях разрешается наливать в сосуд ровно
столько воды, сколько в нем помещается, либо выливать всю воду из одного сосуда в другой,
если она в него вся помещается.)

Ответ. Например, возможны такие последовательности переливаний:  {0, 0, 20}  →

→ {0, 5, 15} → {3, 2, 15} → {0, 2, 18} → {2, 0, 18} → (2, 5, 13} → {3, 4, 13} либо {0, 0, 20} → {3, 0, 17} → {0, 3, 17} → {3, 3, 14} → {1, 5, 14} →{1, 0, 19}→ {0, 1, 19} → {3, 1,16}→{0, 4, 16}.

6.4. Из клетчатого квадрата 5x5  вырезали центральный квадратик 1x1. Разрежьте
оставшуюся фигуру на 6 равных клетчатых фигур. Приведите какой-нибудь один пример
разрезания.

Решение.  Два возможных примера приведены  на рис.   1.  Существуют и другие примеры.

Рис. 1

6.5. У весов сдвинута стрелка, то есть они всегда показывают на фиксированное число граммов больше (или меньше) чем истинный вес. Когда на весы положили дыню, весы показали 3 кг. Когда на весы положили арбуз, весы показали 5 кг. Когда взвесили и арбуз, и дыню, весы показали 7 кг. Сколько кг покажут весы, если на них поставить гирю в 2 кг?

Ответ. 3 кг.

Решение. На сумму 3 + 5 = 8 кг сдвиг стрелки влияет дважды, а на вес 7 кг - только один раз. Поэтому сдвиг стрелки равен 8 - 7 = 1 кг. Следовательно, правильный вес на 1 кг меньше, чем показывают весы. Значит, если на весы поставить гирю в 2 кг, то они покажут 3 кг.

Седьмой класс

7.1. В пенале лежит 10 ручек. Известно, что по крайней мере одна из ручек красная. Также известно, что если из пенала взять любые две ручки, то среди них обязательно будет синяя. Сколько красных ручек может быть в пенале? Объясните свой ответ.

Ответ. 1.

Решение. Так как среди любых двух ручек есть синяя, то двух красных ручек в пенале
быть не может. А одна красная ручка в пенале есть. Поэтому в пенале лежит 1 красная и 9
синих ручек.                                                                                                           ,

7.2. Найдите десять натуральных чисел, сумма и произведение которых равны 20.

Ответ. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,2, 10.

7.3. Разрежьте квадрат 3x3 на две части и квадрат 4x4 на две части так, чтобы из полученных четырех кусков можно было сложить квадрат.

Решение. Два возможных варианта показаны на рис. 2.

Рис. 2

7.4. Три ученика А, В и С участвовали в беге на 100 м. Когда А прибежал на финиш, В был позади него на 10 м, также, когда В финишировал, С был позади него на Юм. На сколько метров на финише А опередил С?

Ответ. На 19 метров.

Решение. Скорость В составляет 0.9 от скорости А, а скорость С составляет 0.9 от скорости В, т.е. 0.81 от скорости А.

7.5. Из произведения всех натуральных чисел от 99 до 3388 включительно вычеркнули все числа, делящиеся на 5. Какой цифрой будет оканчиваться произведение оставшихся

чисел?

Ответ. 6.

Решение. Заметим сначала, что на последнюю цифру произведения влияют только последние цифры сомножителей. Поэтому наше произведение имеет ту же последнюю цифру, что и произведение 9*1*2*3*4*6*7*8*9*1*2*3*...*5*6*7*8. Рассмотрим произведение

9*1*2*3*4*6*7*8. Оно оканчивается на 6, т.е. наше произведение оканчивается на ту же цифру, что и произведение 6*6*6*...*6. Но из того, что 6*6 оканчивается на 6, следует, что наше произведение оканчивается на 6.

Восьмой класс

8.1. Петя считает пальцы на левой руке от большого пальца до мизинца и обратно от
мизинца до большого. Каждый следующий счет приходится на другой палец. На какой палец
придется число 2015? (Счет: 1 - большой, 2 - указательный, 3 - средний, 4 - безымянный, 5
- мизинец, 6 - безымянный, 7 - средний и т. д.)?

Ответ. Средний.

Решение. На большой палец приходится счет 1, 9, 17, 25, ..., 2009 так как 2009 =

8*251+1.

8.2. Докажите, что если а + 2b = 3с и b + 2с = За, то с + 2а = Зb.

Решение.   Сложив   два   данных   равенства,   получим    а + Зb+2с = Зс+За,   откуда  c + 2a =3b

Замечание. Решая систему методом подстановки получим: а = b = с, откуда также следует доказываемое равенство.

8.3.  Найдите какое-нибудь натуральное число, произведение цифр которого на 60
больше суммы его цифр.

Ответ. Например: 99111..

8.4. Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на
1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?

Ответ. Не может.

Решение. Число ягод на двух соседних кустах отличается на 1, поэтому на двух соседних кустах вместе нечетное число ягод. Тогда количество ягод на восьми кустах равно

сумме четырех нечетных чисел, т. е. числу четному. Значит, на всех кустах вместе не может быть 225 ягод.

8.5. У звезды ACEBD (см. рис. 3) равны углы при вершинах Аи В, углы при вершинах Ей С, а также равны длины отрезков АС и BE. Докажите, что AD = BD.

Рис. 3.

Решение. Треугольники ACG и BEF равны (по стороне и двум углам, прилежащим к ней) (см. рис. 4). Следовательно, AGC = BFE и AG = BF. По теореме о смежных углах FGD = GFD. Поэтому треугольник GFD равнобедренный (GD = FD). Следовательно, AG + GD = BF + FD, т. е. AD - BD.

Девятый класс

9.1.   Найдите  сумму  двух  различных   чисел   а и   b,   удовлетворяющих  равенству

a²+b = b²+a.

Ответ. а+b = \

Решение. Решение: уравнение можно преобразовать к виду (a-b)(a+b-1) = 0. Атак как а,то а + b - 1 = 0, откуда а + b = 1.

9.2. Поезд, двигаясь с постоянной скоростью, к 17.00  проехал в 1,25 раза больший путь, чем к 16.00. Когда поезд выехал?

Ответ: в 12.00.

Решение. За 1 час от 16⁰⁰ до 17⁰⁰ поезд проехал 0,25 пути с момента выезда до 16⁰⁰. Значит, он ехал 4 часа и выехал в 12⁰⁰.

9.3. Какую наименьшую сумму могут иметь три последовательных натуральных числа,
если эта сумма оканчивается на 1234?                                                                                   

Ответ. 21234.

Решение. Пусть п ~ среднее из данных чисел. Тогда их сумма S = (п -1) + п + (п + 1) = 3п

делится на 3. То есть число S = а₁..a_к1234 делится на 3. Наименьшим подходящим числом будет 21234.

9.4. В треугольнике ABC биссектриса АЕ равна отрезку ЕС. Найдите угол ABC, если АС = 2АВ.

Ответ. ABC= 90°.

Решение. Пусть точка D середина стороны АС (см. рис. 5). Тогда AD = АС/2 = АВ. Значит, треугольники ABE и ADE равны (сторона АЕ - общая, BAE =  САЕ). Тогда ABC = .ADE = 90°, так как ED - медиана равнобедренного треугольника АЕС (АЕ=ЕС ~ по условию) и, значит, его высота.